La question de l'échelle en géographie  

       Le géographe se trouve toujours confronté à des problèmes d'échelle, malheureusement ce volet se trouve peu étudié vu la difficulté d'isoler l'échelle des données géographiques dans la mesure où celles-ci en tiennent comptent à leur manière si bien que chaque information géographique incorpore l'échelle et le niveau du découpage utilisé. Très souvent, on a tendance à considérer que l'échelle spatiale ne joue pas et on passe aisément des données locales , aux régionales voire nationales  sans parfois poser le problème de la validité des comparaisons.

            Dans quelle mesure un résultat obtenu à une échelle donnée est-il valable à une autre échelle.? Une corrélation obtenue à l'échelle locale reste-t-elle valable au niveau régional  dans quelles limites?.

       Le problème de la désagrégation, de la recomposition et de la décomposition spatiales tient une place centrale en géographie qui mérité d'être analysé ici même rapidement. Mais auparavant, on s'attardera un peu sur la problématique de l'échelle avant de mesurer son effet et la décomposer.
 

I - Le problème de l'échelle 

       Souvent on ne donne pas d'importance à la taille de l'unité spatiale qui ne paraît pas influencer fondamentalement les observations et le raisonnement. Chaque phénomène n'est représentable qu'à une certaine échelle, il n'y a qu'à voir les cartes. Le choix de l'échelle apparaît souvent comme une affaire de bon sens à laquelle on donne peu d'importance. Chacun choisit l'échelle qui lui convient sans justifier les raisons tandis que l'officier ou l'urbaniste connaît avec précision le type d'échelle qui convient à chaque type d'opération.

       On passe ainsi facilement de l'échelle macrospatiale comme la circulation atmosphérique à des processus microspatiaux qui se situent au niveau du lit d'un oued comme l'érosion ou d'un terroir  agricole posant ainsi le problème de l'éclectique.

       C'est là où se situe un des problèmes épistémologiques de la géographie. Le changement d'échelle est loin d'être une opération de sommation,  de synthèse ou de réduction des détails. il transforme radicalement la problématique et les raisonnements. Il correspond à un changement du niveau d'analyse et de conceptualisation.

       La combinaison de facteurs actifs pour un espace n'est pas la même pour des espaces plus petits ou plus grands. Le type de question change lorsqu'on est au niveau du quartier, d'une ville ou de la région entière. La problématique n'est pas la même lorsqu'on se trouve au fond d'une vallée, du sommet d'une montagne ou en avion à  9000  m. Le langage sera différent, la combinaison de facteurs est toute autre selon qu'on considère une échelle ou une autre.

       Il n'existe pas de niveau privilégié d'analyse, aucune échelle n'est suffisante en soi car le fait de choisir un champ spatial d'investigation ne permet de saisir que certaines structures et phénomènes plutôt que d'autres qui  se trouvent occultés ou modifiés dont on ne peut préjuger les effets. Il est indispensable de se placer dans d'autres champs spatiaux pour appréhender ces processus voilés et il est nécessaire de saisir les articulations entre ces champs différents qui sont des espaces de conceptualisation,  d'observation et d'action.

       Le problème de l'échelle est fondamental pour le raisonnement géographique. il y a lieu de distinguer entre espace-objet réel et espace-objet de connaissance (Y Lacoste , 1976, pp: 69), c'est à dire les différentes représentations de cet espace réel.

       L'analyse de l'espace géographique, de tout élément de cet espace ou de toute combinaison de processus n'est intelligible que si elle se fait à l'intérieur d'un système d'échelles donné. Lorsqu'on change d'échelle, les phénomènes changent non seulement de grandeur mais de nature. Une ville millionnaire est radicalement différente d'une ville de 500.000  habitants. A ce titre, la comparaison n'est tenable que lorsqu'elle se rapporte à la même échelle.

       Les différentes analyses montrent qu'on peut ramener tout phénomène à 7 ou 8 niveaux d'échelles, le tableau suivant montre quelques exemples:

                                                              Les échelles spatiales 

Espace                Relief                        Climat                     Isochème                     Système Urbain

Parcelle               Flanc de pli               Microclimat            Géotope                          Base
Ilôt                      Pli                             Climat local            Géofaciès                        Elémentaire
Quartier                                                                             Géosystème                     Local             
Pays                                                                                  pays                                Sous-régional
Région                                                                               région                              Régional
Province            Sierra Nevada                                          Province                          National
Domaine           Alpes, Arc Andin         Domaine                Régional
Zone                Grandes chaînes          Grandes zones              Zone                               Mondial
                                                           Climatiques

 Sources: Brunet, R 1968: Les discontinuités en géographie. CNRS. Dollfus O, 1971: l'espace géographique, PUF, L'analyse géographique 1970, PUF.
 

       Ce qui est vrai à un niveau ne l'est pas forcément à un autre niveau, l'échelle est médiatrice de formes, d'actions et de processus, elle n'est que rarement prise en compte. L'échelle doit être considérée en termes cartographiques (de représentation) mais aussi en termes géographiques, c'est à dire de rapports société-espace.

      L'arrangement spatial est le résultat d'un double processus de concentration et de compétition agissant sur des échelles différentes. Ce problème se pose tant au niveau spatial que social, on a souvent tendance à prendre en compte des groupes sociaux considérés comme autonomes alors que la  société est loin d'être la somme de comportements de ces groupes.

       Il faut distinguer entre l'échelle des antécédents  et des processus et l'échelle des résultats et des effets , l'antécédent opère sur une échelle plus petite que l'effet. C'est ainsi que les formes locales trouvent leur explication à une échelle plus petite, régionale ou  nationale.

       L'échelle est aussi disciplinaire, dans la mesure où certaines données sont a-disciplinaires et touchent toute la société et non seulement une discipline c'est ainsi par exemple de la nature du mode de production ou de la formation sociale qu'on ne peut jamais évacuer sous peine d'analyser l'espace à moins que l'on accepte que ce dernier est simplement un support physique immuable quant à la nature de la société. 

      Selon la finalité on peut définir l'échelle d'investigation. C'est ainsi qu'une finalité productiviste va privilégier la croissance au dépens de la territorialité, la petite échelle en dépit de la grande échelle. De là on comprend l'intérêt de la hiérarchie, la centralité, la dissymétrie, l'inégalité, la valeur d'échange et de la concentration, du coût, du volet économique....Une région n'est que celle de la ville primatiale...

       Egalité, symétrie, valeur d'usage, spatialité, coût social et dispersion sont évacués dans la mesure où ils n'assurent pas cette finalité productiviste mais au contraire une finalité existentielle (Bresso M. et Raffestin C, 1979) où le vécu l'emporte sur l'organisé, la symétrie sur la dissymétrie, la régulation sur la production, la grande échelle sur la petite, le local sur le régional ou le national, l'économie devient alors un moyen et non une fin..

       Un espace qu'on organise en privilégiant la concentration n'est pas interprétable sans référence à ces choix d'échelle qui sont des choix politico-idéologiques qui ont des implications spatiales tant au niveau des études que de l'action.     

       Si on accepte que l'espace est un produit social, la société s'y projette, avec ses contradictions, sa base infrastructurelle et superstructurelle différemment selon les sociétés, les périodes et les techniques. Une des clés d'interprétation et d'analyse spatiale va être la lecture dans l'espace des idées, images, codes sociaux, idéologiques et culturels, des comportements et des valeurs, l'idéologie de la société qui fait qu'elle produit son espace à son image en même temps qu'elle se crée (Racine J.B, Greer-Wootten B., Gilmour G 1979). L'analyse de l'espace doit être menée en relation avec le pouvoir dominant, le groupe qui prend les décisions...

       En  matière d'aménagement, les acteurs relèvent d'une logique différente de celle des habitants qui vont habiter ces quartiers, ces lotissements. Promoteurs, banques, crédits commandent le marché du logement et contribuent à structurer l'espace et relèvent d'une problématique béhavioriste. L'environnement local, en termes de trames,  pratiques et attributs  relève d'une autre problématique, celle de la pertinence socio-spatiale. Qui obtient quoi, où et comment ?  ce qui fait la différence entre l'être et le devoir-être.

       La propriété collective est loin d'être la sommation des propriétés individuelles, c'est ainsi que le coefficient de corrélation par exemple augmente avec l'agrégation (Robinson W.S. 1950, Belhedi A, 1992) et peut passer de 0,1 à 0,9 facilement, c'est l'effet de groupement qui fait que la corrélation écologique augmente avec le regroupement d'unités.

       Se satisfaire de corrélations linéaires au niveau collectif revient à accepter le postulat que ce qu'exprime les données reste constant à travers le passage d'échelle, le comportement est indépendant des variables contextuelles et externes (Racine J.B, 1981). On continue à travailler par échelle, tout ce qu'on a réussi pour le moment c'est de placer les données dans leur échelle de référence.

II - LA DESAGREGATION

       On peut décomposer une information donnée à un niveau spatial déterminé en une série de composantes d'ordre inférieur. C'est ainsi qu'on peut envisager par exemple de décomposer l'écart observé entre une valeur xi à la moyenne  nationale (x) en une séries d'écarts entre la moyenne régionale (xj) et la moyenne nationale  d'un côté (x - xj), entre la moyenne régionale et la valeur locale de l'autre (xj - xi):

 1 - La moyenne

       On peut décomposer une observation quelconque (xij) en une série d'écarts par rapport à la moyenne nationale (x), régionale (xj) et locale (xi) :

 xij      =    (x - xj) + (xj - xi) + (xi -xij)
valeur  =     Ecart inter + Ecart intra   +  Ecart local
observée              régional         régional

 2 - La variance 

       On peut décomposer l'écart d'une observation xij à la moyenne globale (x) en deux écarts des moyennes régionales par rapport à la moyenne globale et celui des valeurs xij par rapport à la moyenne régionale:

 (xij - x) =    (xij - xj) + (xj - x)

       En procédant à la somme, en élevant au carré et en divisant par n l'équation précédente, on obtient :

 S(xij - x)² =    S((xij - xj) + (xj - x))²
 S(xij - x)² =    S(xij - xj)² + S(xj - x)² - 2S(xij-xj)(xi-x)
 S(xij - x)² =    S(xij - xj)² + S(xj - x)²   -  2S(xij-xj)(xi-x)

 Variance       =     Variance                + Variance          -      2 Covariance
globale           inter-régionale    intra-régionale        local/régional

       Le dernier terme est toujours nul, ce qui reste : S(xij - x)²  = S(xij - xj)²  + S(xj - x)² . La variation totale d'une variable sur un espace donné peut ainsi être décomposée en une variation intra-régionale et une variation inter-régionale.

       De la même manière, on peut décomposer la covariance en deux composantes: une covariance intra-régionale et une covariance inter-régionale comme suit :
S(xij - x)(Yij - Y) =    S(xij - xj)(Yij - y) + S(xj - x)(Yj - y) 
Covariance globale    =    Covariance intra-régionale + Covariance inter-régionale

       Tous les paramètres (moyenne, variance...) et les indicateurs géographiques (concentration, spécialisation, centralité, excentricité, dispersion, évolution, disparité, association...) sont donc susceptibles de désagrégation en une composante intra-régionale et inter régionale et d'agrégation sur différentes échelles tant géographique qu'autres échelles comme par exemple secteur et branche d'activité économique, branche et sous-branche... On se limitera ici à quelques indicateurs et certains indices seulement (Cf. en détails A Belhedi, 1998: Repères pour l'analyse de l'espace).

         On peut décomposer la dispersion globale par exemple en une dispersion inter-régionale et une dispersion intra-régionale  ce qui est très utile en matière de découpage spatial .
Si on pose G : le centre de gravité général, Gj' : le centre de gravité de la région j, i : le lieu i, j : les régions avec j = 1, 2, ...nj, on peut écrire la relation suivante :
      SdiG²  =            SdiGj'²        +         SnjdGGj'² 
dispersion globale = dispersion intra-régionale + dispersion inter-régionale

       Ceci est très utile lorsqu'on veut avoir un découpage homogène, il s'agit alors de minimiser la dispersion inter-régionale et de maximiser la dispersion intra-régionale : autrement maximiser le rapport  de dispersions :   Max ( SnjdGGj'²/SdiGj'²)

       On peut envisager aussi que l'évolution globale n'est en fait, que la somme de l'évolution locale, régionale et nationale. On pose Pt et Pt' : la valeur nationale, Pjt et Pjt' : la valeur correspondante à la région j (j = 1, 2,...nj), Pit et Pit': la valeur relative à une localité i (i = 1, 2 ...ni).  L'évolution des différents espaces peut être exprimée par les relations suivantes :      E   = Pjt' - Pjt          Ej  = Pit' - Pit         Eij =  Pit' - Pit 

 
      Si l'évolution locale est similaire au rythme global on a : Eitt'n = Pi.(Pt'/Pt') - Pi. Lorsque l'évolution se fait au rythme régional , on obtient : Eitt'r = Pi.(Pjt'/Pjt') - Pi. On peut écrire alors  l'évolution locale sous la forme d'une somme des trois composantes nationale, régionale et locale :
Eij       =       Eitt'n        + (Eitt'r  -  Eitt'n)   + (Eij - Eitt'r )
Evolution    =  Composante         Composante           Composante
Locale                Nationale            Régionale                     Locale

       Ce découpage n'est pas restrictif si bien qu'on peut envisager un nombre différent de niveaux et on peut incorporer même des composantes d'activité. On peut faire de même pour la concentration, la disparité ou l'association... Le schéma  de construction des indices est le même.

III - LE DECOUPAGE

       Le tracé du découpage détermine le résultat de nombreux indicateurs à tel point qu'on peut avoir des résultats opposés pour un  même espace mais découpé différemment.

        L'homogénéité et la disparité dépend ainsi du tracé des limites ce qui fait que ce qui parait associé dans un découpage peut paraître totalement dissocié dans un autre. Il suffit de modifier le tracé des limites d'un découpage pour qu'on passe de deux espaces hétérogènes avec forte association entre les variables cercles et carré par exemple à des espaces plus homogènes mais à forte dissociation des phénomènes, enfin à des espaces de même structure interne ou similaire avec une forte association entre les cercles et les carrés.

        Ainsi les indicateurs de concentration, de spécialisation , de concentration ou de centralité dépendent fortement du tracé des limites. Il suffit de modifier un peu les limites pour que le résultat change. Ceci pose le problème des limites notamment des limite administratives qui se trouvent souvent utilisées pour des questions pratiques, en particulier la disponibilité des données statistiques et la facilité de comparaison dans le temps et dans l'espace avec d'autres paramètres. Mais cela montre clairement que l'analyse peut avoir d'autres tournants si on adoptait d'autres limites différentes.

    Dans l'analyse de voisinage, l'effet de frontière est manifeste dans la mesure où les points situés sur la frontière n'ont pas la même probabilité d'avoir un voisin que les autres points. Ce voisin se trouve souvent juste à l'extérieur des limites mais ne peut pas pris en compte du fait du maillage adopté. Les points frontaliers ont tendance à avoir une valeur de ri supérieure à celle des autres points situés à l'intérieur ce qui est de nature à augmenter la moyenne ro et à tendance à donner plus de régularité à la distribution. Les tentatives de solution ne sont pas parfaites puisqu'elles consistent soit à éliminer les points extérieurs, soit à les inclure et dans un cas, c'est ro qui est affecté alors que dans l'autre cas, c'est la densité.

IV - L'ECHELLE SPATIALE

      L'échelle spatiale est incorporée automatiquement dans les données géographiques, c'est une donnée de départ qui est difficile à isoler et à mesurer, phénomène qu'on oublie souvent. Deux niveaux d'analyse sont à distinguer ici : d'abord l'échelle spatiale et l'homogénéité , ensuite l'échelle spatiale et les processus spatiaux.
 

  1 - Echelle spatiale et homogénéité

            Les analyses montrent que plus l'échelle spatiale est grande, plus les unités gagnent en homogénéité,  les indicateurs et les paramètres en valeur. C'est comme si en augmentant la taille des unités spatiales, en passant par exemple du local au régional, de ce dernier au national, les détails et les spécificités s'estampent et se réduisent en laissant la place à une homogénéité plus grande.

       C'est comme quelqu'un qui voit un objet de très près , de près et de loin. Au fur et à mesure que l'objet s'éloigne de nous , on voit mal les détails, les grandes lignes, les contours et les silhouettes prennent le pas sur les détails, les irrégularités et les sinuosités. A une distance donnée même, les détails n'apparaissent plus et il nous est impossible de les déceler même dans le cas ou on le voudrait . Nos moyens d'investigation deviennent incapables de saisir ces échelles secondaires.

       La disparition des ces détails et des spécificités fait que les espaces deviennent plus homogènes, non pas parce qu'ils sont homogènes mais parce que une bonne partie des détails ne peut plus être prise en compte.

       Cette homogénéité n'est qu'apparente, elle marque tous les indicateurs géographiques comme la corrélation, la similarité, ou  la disparité... Lorsqu'on calcule le coefficient de corrélation linéaire (r) pour deux variables à différentes échelles, on constate que plus l'échelle spatiale est grande plus le coefficient est élevé si bien qu'il faut faire attention au niveau de l'interprétation et procéder à des analyses à différentes échelles et ne pas se limiter à une seule échelle d'analyse.  Nos analyses des flux et de divers phénomènes a montré cette escalade du coefficient de corrélation au fur et à mesure qu'on s'élève dans les échelles spatiales (cf A Belhedi 1980 et 1992).

        On peut préconiser de mesurer l'effet  d'échelle par des indicateurs simples comme le rapport ou l'écart relatifs des coefficients de corrélation ou d'autres indicateurs de similarité ou d'association...

       Si on pose ri, ri +1 : le coefficient de corrélation ou tout autre indicateur observé à une échelle i et i +1, on peut formuler l'effet d'échelle (ei+1) comme suit :       ei+1  =  ri+1 /ri  - 1

       Cet indice varie d'une valeur négative lorsqu'on assiste à une inversion de la relation (de positive, elle devient négative) à (-1) dans le cas où le fait de monter à une échelle spatiale plus grande s'exprime par un passage à l'indépendance   à (0) en cas où la relation reste inchangée , à une valeur positive quand on passe à  une homogénéité plus grande des unités spatiales .

       On peut aussi utiliser l'écart des corrélations successives qu'on divise sur 3 après avoir retranché 2 pour le ramener à un intervalle 0 - 1. En effet, l'écart (ri+1 - ri) varie entre (-2) dans le cas d'un passage d'une liaison directe à une liaison inverse,  (0) lorsque la relation demeure stable et (1) quand il y a passage de l'indépendance à une liaison directe, de telle manière qu'on peut l'écrire comme suit :      ei+1  =  (ri+1 - ri + 2 )/3

 Cet indice varie ainsi de 0 à 1
      0    = passage d'une liaison directe à une liaison inverse
      2/3 = identité de la relation
      1    = passage de l'indépendance à une liaison directe.

       On peut imaginer d'autres indices similaires sur la base des analyse de disparité, d'association ou de similarité , seulement on ne peut pas les multiplier ici au risque d'alourdir le texte....

2 - Echelle spatiale et processus

       En plus de ce gain en homogénéité, les processus qui agissent à une échelle donnée sont différents des processus qu'on peut trouver à des échelles plus réduites ou plus grandes. Non seulement, la dimension et l'ampleur des phénomènes changent mais aussi les acteurs, les formes, les seuils et les significations.  

      Il convient ainsi d'être plus attentif à ces processus qui ne sont actifs qu' à des échelles précises, qu'entre des seuils bien définis. Ailleurs, ils changent de nature, de forme, d'intensité ou  disparaissent totalement pour laisser la place à d'autres processus.

 Echelles et  seuils

       Il va sans dire que le changement d'échelle correspond à un seuil qualitatif et quantitatif dans la mesure où la qualité s'exprime inéluctablement à travers la quantité.  Nos travaux récents nous ont permis de détecter certains seuils critiques à plusieurs niveaux  qui commandent le système spatial, tant au niveau de la ville, du système urbain et les analogies dégagées ne sont ni fortuites, ni neutres (cf A Belhedi 1992). Cette notion des seuils nous a permis d'élaborer une méthode de partition en classes qu'on a appelé  méthode des seuils (Cf A Belhedi 1992) qu'il est inutile d'y revenir.

       Un seuil est un saut qui marque un passage d'une structure à une autre différente en nature et en champ, d'une échelle à une autre plus ou moins grande donc des processus .

 Seuils et corrélogramme 

      On peut penser à une méthode itérative pour mettre en relief ces seuils et de là les points de passage d'une échelle à une autre. c'est la méthode du corrélogramme, elle consiste à calculer le coefficient de corrélation spatiale ou tout autre indice de similitude ou d'association entre deux variables (x, y) dans un espace ei, considéré comme espace de base. A chaque fois , on ajoute une autre unité spatiale et on calcule de nouveau le coefficient : ri+1, ri+1, ...ri+1. 

                                            ri

                                                                 Seuils

                                                                 1                 10                            n                      ei

                                                           Corrélogrammes et seuils

       On obtient ainsi une série de coefficient où la présence de sauts ou de seuils exprime un changement qualitatif de la relation entre les deux variables. On peut porter le résultat sur un système d'axes où en abscisse, on a les corrélations ou les indices d'association et en ordonnée, la valeur de ces paramètres.  La présence de seuils s'exprime par des bonds, des creux ou de fortes pentes proportionnellement à l'importance de ces seuils.

    Plus le changement qualitatif est important, plus le seuil quantitatif est important et plus il est marqué sur le corrélogramme. C'est à ces niveaux marqués qu'on peut définir le champ local, le champ régional et le champ national.

       Cette méthode nécessite beaucoup de calculs si on veut déterminer la dimension des échelles spatiales dans espace donné. Il s'agit de faire les calculs à partir de plusieurs lieux auxquels on adjoint chaque fois une nouvelle unité spatiale pour calculer de nouveau ri+1. La convergence des différents résultats permet de définir dans un espace donné la dimension du local, du régional ou du supra-régional

            Le problème qui se pose ici, c'est probablement la variabilité par secteur qui fait que le coefficient est différent si l'on adjoint l'unité du Nord ou celle du Sud mais on peut ici nuancer les résultats par secteurs.

       On peut s'intéresser à une seule localité, il suffit alors d'ajouter, chaque fois, une nouvelle unité tout autour et d'une manière contiguë pour déterminer les échelles de fonctionnement spatial autour de cette localité, le reste demeure identique.

       Dans cette méthode, on a utilisé le coefficient de corrélation mais on peut utiliser tout autre indice pour mesurer l'homogénéité spatiale.                                    
 

V - L'effet de taille  

      L'effet de taille se trouve aussi incorporé dans l'information géographique si bien qu'il contribue souvent à fausser les données.  Cet effet de taille se trouve exprimé par la moyenne, l'écart-type ou la corrélation par exemple qui sont très sensibles aux valeurs extrêmes si bien qu'il faut toujours faire attention à l'interprétation des résultats en particulier lorsqu'on a affaire à des échantillons et où la probabilité d'avoir des données aléatoires est très élevée.

       Il se trouve que c'est le sommet de la distribution qui détermine la nature des résultats beaucoup plus que la zone intermédiaire ou inférieure. Ceci est très clair lorsqu'on a affaire à un écart important entre les premières observations et le reste. On revient ici à la notion de seuil, exprimé dans ce cas par le saut quantitatif  observé entre les données du sommet, ce changement d'échelle intervient pour modifier fortement  la teneur des résultats. Il suffit, pour s'en rendre compte de procéder aux mêmes calculs en éliminant la valeur extrême.

       C'est le cas par exemple, de la première ville lorsqu'on a affaire à une suburbanisation accentuée où cette ville s'écarte trop du reste des villes, l'écart est tellement important qu'il contribue à masquer la réalité en dessous. Le fonctionnement du système urbain est totalement différent lorsqu'on prend ou non en compte cette ville primatiale à tel point qu'on a l'impression qu'on est en face de deux systèmes différents.

       Dans ces cas, il est utile d'envisager les deux cas et comparer les résultats obtenus ce qui permet de comprendre mieux le système urbain ou autre.

 
Mesurer l'effet de taille

       Pour mesurer l'effet de taille, on peut envisager plusieurs méthodes, on se limitera ici à une seule : la méthode du corrélogramme. 

      En effet, en procédant à l'analyse de corrélation ou d'association entre deux variables quelconques à travers un système où interfère la taille, comme le cas des villes, des agglomérations ou des régions, en dressant le corrélogramme tout en commençant par le bas de la distribution, on voit apparaître des seuils de changements brusques de la pente de la courbe indiquant  une nette modification du degré de la liaison. Ces seuils expriment e changement d'échelle qui modifie forcément la nature et le degré de corrélation entre les variables étudiées.

       Il faudrait procéder à plusieurs analyses de corrélogrammes pour s'assurer d'une certaine convergence des résultats, les données doivent être indépendantes aussi pour éviter la redondance interne, c'est le cas par exemple de la population et l'offre scolaires utilisées chacune avec une autre variable...

       Comme dans le cas des échelles spatiales, on peut procéder à mesurer cet effet par des indices simples (cf ci-dessus).

  
Eliminer l'effet de taille

       On peut éliminer l'effet de taille en procédant à la transformation des données . On citera quelques méthodes de transformations  les plus utilisées. La transformation des données doit se faire avant le traitement et l'analyse, opération très souvent négligée.

       - La fréquence relative ou le pourcentage : une des méthodes qui permet d'éliminer l'effet de taille est d'utiliser les pourcentages ou les fréquences relatives ce qui permet de passer de la taille à la structure interne ou à l'importance relative d'un espace. C'est le cas par exemple dans les analyses de profil, de corrélation et de régression ou de l'analyse factorielle.. 
       C'est ainsi qu'au lieu d'exprimer la population urbaine par ses effectifs, il vaut mieux utiliser le taux d'urbanisation ou de scolarisation dans un cas ou la part de l'espace considérée dans la population urbaine ou scolaire générales.
       - Le logarithme : la transformation logarithmique est de nature à réduire les grandes valeurs et d'augmenter les petites si bien que l'effet de taille, sans être éliminé, se trouve réduit.

       Le choix du type de transformation doit être justifié, en s'appuyant sur des fondements valables tout en veillant à ce que l'interprétation reste claire et facile. La transformation ne modifie guère les résultats à condition de préciser les unités  et le type de relation.

Exprimer l'effet de taille

       Plusieurs lois de distributions expriment cet effet de taille, en particulier la loi de Pareto, la loi de Gibrat ou la loi Log-Normale qu'on peut appeler lois logarithmiques.

       - La loi log-normale : C'est une loi dissymétrique à droite exprimant des effets indépendants, égaux et multiplicatifs, c'est la loi normale des logarithmes des valeurs. Elle caractérise les distributions où l'effet de taille intervient : les distributions économiques comme les revenus,  l'effet de taille, on retrouve là la loi de Zipf, la granulométrie, les précipitations quotidiennes[1]...

                           ddp                                                    ddp

                                                                                x                                                            x
                                      Loi log-normale                                                      Loi normale des logarithmes
 

                                     y                                                                        Log Nx
 

                                                                              log x                                                     log x

     - Loi de Gibrat : Une variable qui résulte d'une série de causes indépendantes à effets petits , égaux et proportionnels à la grandeur des phénomènes suit la loi de Gibrat. C'est la loi de l'effet proportionnel  : y = a log x + b
       On retrouve là les distributions de revenus, des fortunes, et la distribution selon la taille: villes, établissements,...

      - Loi de Pareto : Elle exprime les distributions économiques selon la taille, l'effectif cumulé dont la valeur est inférieure ou égale à un seuil donné  est en relation inverse avec ce seuil. C'est la loi des inégalités. Si on pose Nx : l'effectif cumulé <=  xi, xi : les valeurs ou seuils, a et b : constantes,  on  obtient: Nx = b.x^-a       ou   log Nx = a log x + log b

       La loi décrit bien la zone intermédiaire tandis que les extrêmes échappent et se trouvent mal cernés. On reconnaît là, la loi rang-taille ou loi de Zipf très utilisée dans l'étude des systèmes urbains...

    En réalité, l'utilisation de Dx/x ou log x revient à normaliser la distribution si bien que les résultats de ces deux lois sont très proches de ceux de la loi Normale.

VII - Modèle gravitaire et échelle spatiale, Un exemple de l'effet de l'échelle

       Le modèle gravitaire nous permet d'élucider l'effet de l'échelle spatiale et de voir comment la valeur des paramètres et la corrélation varient en passant d'une échelle spatiale à une autre (Pour plus de détails, voir A Belhedi, 1998: Repères pour l'analyse de l'espace. Cahiers du CERES, n° 20, 459 p).

       La migration inter-régionale (Mi, Mj) permet d'expliquer mieux que la masse de la population (Pi, Pj) la mobilité et les déplacements puisque en utilisant les migrants comme un indicateur de masse, on arrive à expliquer 72% des déplacements routiers du début des années 1980[1] : Tij = 1902Mi^0.73Mj^0.82dij^-0.947.
       Au niveau régional, la migration explique près de 81,4% des flux routiers selon la formule suivante :
Tij = 443,4Mi^0,47Mj^0.35dij^-1,68.
       Au niveau intra-régional, on arrive à expliquer près de 94% des flux en utilisant les migrants comme indicateur de masse[1] :  Iij = 9,31Mi^1,0175Mj^1,185dij^-0,0499. 

       En passant d'une échelle spatiale à une autre plus petite, du gouvernorat à la région et à la grande région (Nord, Centre et Sud...), on constate que très souvent l'effet de la répulsion et de l'attraction diminue parallèlement à la hausse de l'effet de friction et de la constante d'ajustement (K) qui exprime en réalité la propension d'interaction.

       L'effet de la distance devient de plus en plus discriminant et fait qu'une plus petite proportion de la population se trouve concernée par ce mouvement sur de longues distances.  
                   
              Valeurs des paramètres du modèle gravitaire selon l'échelle spatiale

      L'analyse du tableau ci-dessus montre que plus l'échelle spatiale est réduite, plus l'effet de masse a tendance à se réduire tandis que l'effet de distance augmente si bien que la constante K a tendance à augmenter puisque la masse de population s'élève parallèlement à la réduction des flux observés.

       Le tableau ci-dessus montre deux faits importants: d'abord la centralité du phénomène migratoire dans les déplacements dans la mesure où ces mouvements demeurent encore liés à la migration (retours, visite de famille, congés...) et font que plus la colonie migrante dans une région est importante, plus les flux générés entre cette région et la zone correspondante sont élevés. En second lieu, il faut relever l'effet de la friction de la distance qui fait que le mouvement s'amenuise dès que la distance s'élève un peu. Cette friction se trouve bien exprimée par l'exposant  qui passe de 0.05 à 2.7 en passant des mouvements locaux au mouvements entre les grandes régions (Nord, Centre, Sud, littoral, intérieur).

       Le modèle gravitaire intègre à sa manière l'échelle spatiale, ce qui se traduit par une augmentation de la valeur de l'exposant de la distance. Ainsi, la grande dimension de l'espace américain, comparé au territoire tunisien explique la valeur des paramètres selon le mode.

Valeurs de bêta en USA et en Tunisie par mode de transport

 
      L'étude des flux de passagers entre Tunis et le reste du territoire montre que béta mais aussi les autres paramètres varient selon l'échelle (Le poids utilisé ici est le nombre de migrants (Mi, Mj)).

      L'effet de masse diminue avec l'échelle  tandis que la friction augmente avec la valeur de K et la variance expliquée. Au niveau de la distance, les phénomènes généraux qui touchent une grande partie de la population se caractérisent par de faibles valeurs de l'exposant. Plus le phénomène est limité, spécialisé et concentré et plus cette valeur est élevée alors que les biens et services ubiquistes ont des valeurs faibles. 

      Les études montrent que la valeur diminue dans le temps. C'est ainsi qu'elle est passé de 3 à 2,4 en Suède entre 1860 -1869 et 1930 -1939 (T Hagerstrand). Cette baisse est à relier avec les progrès de moyens de communication et de la maîtrise de la distance : les champs spatiaux ont ainsi tendance à s'élargir conduisant  à la baisse de la friction.

       Le niveau technologique module l'effet de friction et détermine par là, la tendance à la mobilité. C'est ainsi qu'en USA, et compte tenu de la dimension du pays, on favorise le train beaucoup plus que le bus, alors qu'en Tunisie on observe le phénomène inverse vu la taille réduite du pays. L'examen des exemples suivants au niveau de la Tunisie montre combien les valeurs varient en fonction de l'échelle.

Niveau intra - régional 
^{NE  avec Tunis T = 931 Mi 1,0175 Mj 1,185} d ij ^-0.0499       R² = 0.9367
Sans Tunis : T = 440.2 Mi 1,202 Mj 1,2395 d ij ^-0.8612     R² = 0.9405

T ij = K Mi^a Mj^b D ij^g

       En utilisant de plus grands ensembles (Tunis, N, CE), la variance expliquée est de 97,4%, elle est de 73% entre Tunis et littoral : Tij = 1,1488 108  Mi^0.08  Mj^0.115  d ij^-2.27   
Tunis - gouvernorat : T = 1901.7  Mi ^0.73 Mj ^0,82 d ij -^0.95  R² = 71.07
Tunis - régions :  T = 302675.5  Mi 0.33  Mj ^0,33 d ij ^-1.5    R² = 90.82 
Tunis grands ensemble : T = 7.672 10 9  Mi ^-0.177  Mj ^-0.145 d ij ^-2.7    R² = 99.98

      L'effet de masse diminue avec l'échelle considérée, celui de la distance augmente au même moment que K et R².

       Au niveau du flux marchandises, là aussi, le modèle gravitaire permet d'expliquer 58 à 75% de la variance en utilisant la population comme masse :
T ij = K Pi^a  Pj^b  d ij ^g

      Autant l'échelle a été centrale  dans les travaux géographiques, autant la question de l'échelle a été évacuée dans la réflexion et les travaux à caractère méthodologiques.  Seulement sur le plan cartographique, l'échelle a été appréhendée dans la mesure où il n'est pas possible de concevoir une carte sans échelle, l'échelle visuelle et le principe de la proportionnalité sont souvent respectés. Par contre, la pensée géographique fait abstraction totale de l'échelle et on passe facilement d'une échelle à une autre sans poser le problème de la validité des résultats. Or le problème de l'échelle constitue une question clef dans l'analyse spatiale. Elle sera probablement une des questions dont la réponse pourrait bouleverser la pensée spatiale dans les prochaines décennies.

 [1] - Si une variable x est log-normale, toute fonction y = a x b suit une loi Log-Normale. On retrouve ici l'analogie qu'on retrouve au niveau de plusieurs distributions géographiques. Tout produit de variables log-normales indépendantes suit une distribution log-normale 
[2] - Belhedi A - 1992 : L'organisation de l'espace en Tunisie. Pub FSHS.
[3] - Belhedi A (dir) - 1996 : Migration intérieure et développement régional. MDE-INS.